Übersicht: Mathematikwahlmodul "Dreiecksgeometrie"

WS 2007/08, Klassen: 6A(G), 6C(Rg), 6D(Rg), 7B(G), 7C(Rg), 7D(Rg)

Zeit und Ort: Dienstag, 15³⁵ bis 17¹⁵ im Klassenraum der 7C oder in einem der EDV-Säle

Beginn: Dienstag, 11. September 2007

Bevor wir überhaupt gemeinsam(!) loslegen, steht an allem Anfang eine Art "Vertrag", und zwar in Form der Kritieren der Leistungsbeurteilung, die du bitte ausdruckst, (gemeinsam mit deinen Erziehungsberechtigten) durchliest und dann den zu perforierenden Abschnitt umgehend(st!) ausgefüllt und unterschrieben bei deinem Klassenvorstand abgibst, der ihn dann an mich weiterleitet.

• Kriterien der Leistungsbeurteilung

Kommen wir nun zur Unterteilung des Semesters in die einzelnen Wahlmoduleinheiten und die dort (geplanten¹) Themen, also eine Art "geistiger Fahrplan":

• Di, 11. September 2007:    Vorbesprechung und PC-Labor-Betrieb (Einführung in "Euklid"², Konstruktion der Eulerschen Gerade, eigenständiges e-le@rning-gestütztes Wiederholen der Strahlensätze)

• Di, 18. September 2007:    (erster) Beweis des Satzes über die Eulersche Gerade (unter Verwendung von Schwerlinien und eines Strahlensatzes) sowie ein (zweiter) Beweis analytischer Natur, Erforschung des "tan a · tan b = 3"-Phänomens

• Di, 25. September 2007:    Autonomes Formulieren sowie gemeinsames Beweisen der dem "tan a · tan b = 3"-Phänomen zugrundeliegenden Vermutung (ggf. Labor-Betrieb: Generieren von entsprechenden "counterexamples" für Fünftklässler des Schuljahres 2009/10), baryzentrische Koordinaten [von S(√) und I!], Erforschung des "Phänomens der arithmetischen Dreiecke"

• Di, 02. Oktober 2007:        Autonomes Formulieren sowie gemeinsames Beweisen der dem "Phänomens der arithmetischen Dreiecke" zugrundeliegenden Vermutung, baryzentrische Koordinaten von H und U (ggf. inkl. Wiederholung trigonometrischen Basiswissens!), Teil 1

   

• Di, 09. Oktober 2007:         Baryzentrische Koordinaten von H und U, Teil 2, dritter Beweis des Satzes über Eulersche Gerade (koordinatenfreie vektorielle Variante), Erforschung des "Phänomens des d-Dreiecks eines Dreiecks"

• Di, 16. Oktober 2007:        Autonomes Formulieren sowie (gemeinsames?) Beweisen der dem "Phänomen des d-Dreiecks eines Dreiecks" zugrundeliegenden Vermutung,

            Fokusierung auf die Frage nach der Entartung des d-Dreiecks eines Dreiecks, Erwerben dazu notwendiger Rüstwerkzeuge: Trigonometrie-Einschub (Beginn)

GEPLANT  WAR(!) IN WEITERER FOLGE:

• Di, 06. November 2007:    Trigonometrie-Einschub (Fortsetzung): Additionstheoreme (insbesondere Doppelwinkelformeln), "VW-Formel", analytischer Beweis des Peripheriewinkelsatzes, darauf aufbauende Ableitung des Sinus-Satzes, ggf. Beginn mit dem Themenkreis Brocardsche Punkte und Winkel

• Di, 13. November 2007:    Brocardsche Punkte und Winkel und Wallace-Gerade (letztere zunächst explorativ)

• Di, 20. November 2007:    Wallace-Gerade: Beweis der Vermutung, Feuerbach-Kreis (explorativ und Beweis)

• Di, 27. November 2007:    Dreiecksgeometrie und Kegelschnitte (gleichseitige Hyperbel)

• Di, 04. Dezember 2007:    Der Satz von Desargues als ein schönes Beispiel der Synthese zwischen zwei- und drei(!)dimensionaler Geometrie

• Di, 11. Dezember 2007:    "Back to the basics", part one:    Alternative Konstruktionen merkwürdiger Dreieckspunkte sowie diverse Existenz(!)beweise von H und U

• Di, 18. Dezember 2007:    "Back to the basics", part two:    Alternative Konstruktionen merkwürdiger Dreieckspunkte und diverse Existenz(!)beweise von H und U

Sollte noch - was angesichts der Ausgiebigkeit und Vielfalt der Themen eher unwahrscheinlich ist - Zeit übrig bleiben, würden sich noch die Themen "Kiepertsche Dreiecke", "Neubergsche Kreise" sowie (was aber für die Oberstufe eher fragwürdig ist, außer wir betrachten komplexere Varianten!) Beweise des Lehrsatzes v. Pythagoras anbieten.

• Di, 08. Jänner 2008: Prüfungsgespräche / Referate (als gezielte Vorbereitung auf den typischen Ablauf einer vertiefenden Schwerpunktprüfung bei der mündlichen Matura), Teil 1

• Di, 15. Jänner 2008: Prüfungsgespräche / Referate (als gezielte Vorbereitung auf den typischen Ablauf einer vertiefenden Schwerpunktprüfung bei der mündlichen Matura), Teil 2

• Di, 22. Jänner 2008: Prüfungsgespräche / Referate (als gezielte Vorbereitung auf den typischen Ablauf einer vertiefenden Schwerpunktprüfung bei der mündlichen Matura), Teil 3

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¹: Abweichungen sind hier natürlich (im Vergleich zum Vormittagsunterricht) durchaus möglich!

²: Mit diesem dynamischen Computergeometrieprogramm werden wir [besser gesagt: werdet ihr (jungen Forscher)] im Laufe dieses Moduls so manche schönen Sätze der Dreiecksgeometrie eigenständig durch (wenn man einmal den Dreh raus hat - worüber ich mir speziell bei euch keine Gedanken zu machen brauche ☺ - durchaus komfortables) Konstruieren am PC "entdecken" und uns dann (wirklich gemeinsam, das autonome explorative Erschließen der Sätze aber obliegt - fast - zur Gänze euch!) einem (oder mehreren) Beweis[(möglichkeit)en] der jeweiligen Vermutung zuwenden. Ein nicht zu unterschätzendes Lernziel dieses Moduls ist unter anderem auch die sprachliche Komponente in der Mathematik im Zusammenhang mit der (zum Teil noch im Laufe dieses Moduls zu trainierenden) Fähigkeit, selbst entdeckte mathematische Phänomene durch die Verwendung einer (eurem Wissensstand) adäquaten Fachsprache in moderater - ja mit zunehmender Routine geradezu souveräner - Weise zu formulieren (und an so mancher Stelle gar selbst schon Beweise/Beweisideen zu entwickeln).

ABGEÄNDERT  WIRD NUN (WEGEN DER - erfolgreichen! - Vorbesprechung für das Wahlpflichtfach 2008/09 am 16. Oktober und aus anderen Gründen) WIE FOLGT:

• Di, 06. November 2007:    Trigonometrie-Einschub (Fortsetzung): Additionstheoreme (insbesondere Doppelwinkelformeln), "VW-Formeln" (Sinus- und Cosinusvariante!) und Sinus-Satz, Brocardsche Gleichung sowie (wenn hiefür Zeit vorhanden!) eigenständiges Kreieren entsprechender Beispiele (... welche - wenn gut gelungen - künftigen Schülern im Vormittagsunterricht Freude bereiten mögen ... ☺)

• Di, 13. November 2007:     (Zweite) Additionstheoreme inkl. Anwendung (ein analytischer Beweis des Peripheriwinkelsatzes), exploratives Erschließen des Themenkreises "Wallace-Geraden" (erneutes eigenständiges Forschen am PC unter Verwendung von Euklid) 

• Di, 20. November 2007:     "Wallace-Geraden": Hypothesen-Präsentation und gemeinsamer Beweis                                                    (Anwendung des Peripheriwinkelsatzes!), exploratives Erschließen des Themenkreises "Neunpunkte-Kreis"

• Di, 27. November 2007:     "Neunpunkte-Kreis": Hypothesen-Präsentation und gemeinsamer Beweis,                                                 Beginn mit dem SATZ von Desargues

• Di, 04. Dezember 2007:     Fortsetzung: SATZ von Desargues, Beginn: Existenzbeweise für und alternative Konstruktionen von H und U

• Di, 11. Dezember 2007:     Fortsetzung: Existenzbeweise für und alternative Konstruktionen von H und I, Beginn: "Pythagoras reloaded"¹

• Di, 18. Dezember 2007:     Fortsetzung: "Pythagoras reloaded"¹

• Di, 08. Jänner 2008: Prüfungsgespräche / Referate (als gezielte Vorbereitung auf den typischen Ablauf einer vertiefenden Schwerpunktprüfung bei der mündlichen Matura), Teil 1, optional parallel hiezu: eigenständiges Erforschen des "pythagoreischen Testaments"      

• Di, 15. Jänner 2008: Prüfungsgespräche / Referate (als gezielte Vorbereitung auf den typischen Ablauf einer vertiefenden Schwerpunktprüfung bei der mündlichen Matura), Teil 2, optional parallel hiezu: eigenständiges Erforschen des "pythagoreischen Testaments"     

• Di, 22. Jänner 2008: Prüfungsgespräche / Referate (als gezielte Vorbereitung auf den typischen Ablauf einer vertiefenden Schwerpunktprüfung bei der mündlichen Matura), Teil 3, optional parallel hiezu: eigenständiges Erforschen des "pythagoreischen Testaments"     

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¹: Geplant sind u.a. ein Beweis des Pythagoreischen Lehrsatzes ("PLS") nach Leonardo Da Vinci, ein Exkurs in das Reich der unendlichen Reihen (mit einer überraschenden Querverbindung sowohl zum PLS als auch den trigonometrischen Summensätzen) sowie eine Art "pythagoreisches Testament" für den Jänner (als optional paralleles Programm für die Jännerprüfungen) ...

• NEU (16. 12. 2007): "Eule"s Bemerkung zum Satz von Desargues - der Beweis dazu!